【素因数分解】方法・手順・使い方、メリッ... | 色々なカテゴリの方法や利用・使い方など 方法ラボ

これから語るうえで欠かせないのが、「素数」という数字です。「素数」を知らなければ、ちんぷんかんぷんとなってしまいます。素数とは、ザックリいうと、「その数自身もしくは1以外では割れない数」です。例として2,3,5,7,13,17等が挙げられます。ここで注意しないといけないのが、「1は素数ではない」ということ。また、素数は、そもそも数が無数にあるように、素数もまた無数にあります。稀に「最大の素数発見」等のニュースが報じられますね。数が大きくなればなるほど、その数を割ることのできる数がある可能性も大きくなっていきますから、大きな素数を見つけるのも大変なことなのです。

ここまで当たり前に紹介してきましたが、そもそも「因数」とは何かみなさん覚えているでしょうか。こちらもザックリいうと、「ある整数をつくるパーツの数」といえます。たとえば「24」という数字を例とすると、8×3=24ですから、「8,3は24の因数である」と言えます。同様に、12×2=24ですから、12,2も24の因数であると言えます。ここまでくると『因数分解』という言葉を思い出す方もいらっしゃると思います。「因数分解なんて将来何の役に立つのかな」のあれです。広く見れば、素因数分解も因数分解の一種であると言えます。

ここまで説明してきた「素数」「因数」それぞれについてご理解いただけましたでしょうか。この二つが分かると「素因数」について、そして素因数分解の方法について理解するための準備が整ったと言えます。もうお気づきの方もいらっしゃるでしょうが、「素因数」とは因数のうち素数であるものを言います。先ほどの「24」は、「8×3」と表せました、このうち3は素数ですから、8をさらに素数を使って表すと、2×4となり、4をさらに素数を使って表すと、2×2となります。まとめると「24=2×2×2×3」となります。これこそが素因数分解の基本的な流れになります。

さて、いままで紹介してきたことを改めてまとめますと、素因数分解とは「ある数(自然数)を素因数の積で表すこと」となります。ここで疑問になるのは「なぜ自然数と指定されてしまうのか」ということです。これは、先ほど触れなかった素数の定義によるものです。素数とは、もっと正確にいうと「1とその数自身で割れない自然数、つまり正の整数」なのです。つまり、2は素数だけど-2は素数ではないということ。このことにより素因数分解で扱えるのは自然数のみとなります。ただし、負の数や分数などは「素因数」ではありませんが「因数」にはなりうるのでご注意ください。

それでは、もっと詳しい手順を説明していきます。 今回は120を例にとります。また、「xのy乗」というような整数乗を表したいとき、ここでは「x@y」と示します。 数式の流れは 120=30×4=5×6×2×2=5×3×2×2×2=2@3×3×5 となります。 ここでの注意点として、「最後まとめて書くときは、普通小さな素因数から書く」ということです。 また、120は以下のような手順をたどることもできます。 120=10×12=2×5×3×4=2×5×3×2×2=2@3×3×5 このように素因数分解にはいくつかのルートがありますが、答えは同じになります。

さて、お読みいただいた方はわかるとおり、先ほどの数式処理の方法ではこんがらがる可能性が高くなります。そんな方におすすめなのが割り算の筆算によく似たやり方です。 その方法はといいますと、割り算の筆算は上に商を書いていきますが、ここでは下に商を書いていきます。それだけです。ただし、割る数を素数とし、商が素数になった時点で終わりです。 そしてそのやり方のコツは、ずばり「小さな素数から考えること」、そして「なんでもいいから、分解する対象の自然数が何の倍数であるかを考えること」です。 特に後者は非常に役に立ちます。

先ほどのコツの使い方を例を「900」にして詳しくご説明していきます。 まず、900というのは1の位が0ですから、5の倍数であるということがすぐにわかります。 5は素数ですから、900÷5=180。 180は偶数だから、180÷2=90。 90は3の倍数だから、90÷3=30。 30も3の倍数だから、30÷3=10。 10=2×5。 よって900=2@2×3@3×5@2。 このように、どんなルートをたどっても答えは同じですから、まずは思いついた素数から・小さい素数から、とやっていくと計算のスピードは格段に上昇します。

ここまでは現在の中学3年生が（ほとんどの場合）進級してすぐに習う内容の復習でした。その次には（普通の）因数分解を習い、ウエイトはそちらに置かれ、詳しい使い方を習うことなく授業は進んでいきます。 そんな素因数分解が再びお目見えするのは、記憶がうっすらしてくる高校入学後です。 高校では、「√84n これが整数になるような最小のnを求めよ」といったような問題の中で登場します。 これは、√(ルート、二乗根)の中身がある整数aの偶数乗となる(ここではa@2など)ことで√がはずれaとなるという性質を利用したものです。 84=2@2×3×7ですから、求めるn=3×7=21となります。

「数学が将来どんな役に立つのか」という疑問と学生生活とは、一部の生徒を除き切っても切れない関係にあると思われます。しかし、現代の生活、精密機器が周りを取り囲む生活において、私たちは知らず知らずのうちに数学のお世話になっているのです。 たとえば今回の因数分解は、コンピューターのやり取りにおける暗号化・暗号解読に役立っています。 ある膨大な数を、これまたある数で因数分解する。するとある意味を持った数字の羅列になり、情報が伝達される… 家庭レベルの情報ならまだともかく、個人情報や国家機密までやり取りするには、とても高度な技術が必要です。それには数学が必要なのです。

今回の素因数分解だけではなく、今までの学生時代で学んだことすべてが常に日常で役立っているとは残念ながら言えません。しかし、机の上で解いた問題がある日急に役立つことがあるかもしれませんし、知らないところで生活を支えてくれているかもしれません。 そのようなことがいつ起こるかわかりませんし、そのシステムを理解することで新たな発見を生むかもしれません。 今の学生には、「数学なんて、因数分解なんて将来何の役に立つのかな」等と思わずに、知りたいから勉強するといった姿勢で勉学に励んでいただきたいものですね。ぜひとも未来に生かしてほしいです。